Giải {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Tìm x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

Các bước Sử dụng Phép thế và Công thức Bậc hai

Xem xét phương trình thứ hai. Trừ y^{2} khỏi cả hai vế.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

Thêm 6 vào cả hai vế. Bất kỳ giá trị nào cộng với không cũng bằng chính nó.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

Giải phương trình x-y=\frac{1}{4} để tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

Trừ -y khỏi cả hai vế của phương trình.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

Thế y+\frac{1}{4} vào x trong phương trình còn lại, -y^{2}+3x^{2}=6.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

Bình phương y+\frac{1}{4}.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

Nhân 3 với y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Cộng -y^{2} vào 3y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

Trừ 6 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

Phương trình này ở dạng chuẩn: ax^{2}+bx+c=0. Thay thế -1+3\times 1^{2} vào a, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 vào b và -\frac{93}{16} vào c trong công thức bậc hai, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Bình phương 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Nhân -4 với -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

Nhân -8 với -\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

Cộng \frac{9}{4} với \frac{93}{2} bằng cách tìm một mẫu số chung, rồi cộng các tử số. Sau đó, rút gọn phân số đó thành số hạng nhỏ nhất, nếu có thể.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

Lấy căn bậc hai của \frac{195}{4}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

Nhân 2 với -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

Bây giờ, giải phương trình y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} khi ± là số dương. Cộng -\frac{3}{2} vào \frac{\sqrt{195}}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Chia \frac{-3+\sqrt{195}}{2} cho 4.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

Bây giờ, giải phương trình y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} khi ± là số âm. Trừ \frac{\sqrt{195}}{2} khỏi -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

Chia \frac{-3-\sqrt{195}}{2} cho 4.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

Có hai nghiệm cho y: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} và \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. Thế \frac{-3+\sqrt{195}}{8} vào y trong phương trình x=y+\frac{1}{4} để tìm ra nghiệm tương ứng cho x đều thỏa mãn cả hai phương trình.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Bây giờ, hãy thay thế \frac{-3-\sqrt{195}}{8} vào y trong phương trình x=y+\frac{1}{4}, rồi giải để tìm ra đáp số tương ứng cho x đều thỏa mãn cả hai phương trình.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$