Giải {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Tìm x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$2x+4y=2060$$

Trừ 4y khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2x=-4y+2060$$

Chia cả hai vế cho 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Nhân \frac{1}{2} với -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Thế -2y+1030 vào x trong phương trình còn lại, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Nhân 5 với -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Cộng -10y vào 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Trừ 5150 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-3y=-3510$$

Chia cả hai vế cho -3.

$$y=1170$$

Thế 1170 vào y trong x=-2y+1030. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Nhân -2 với 1170.

$$x=-2340+1030$$

Cộng 1030 vào -2340.

$$x=-1310$$

Hệ đã được giải.

$$x=-1310,y=1170$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó phương trình ma trận có thể được viết lại dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=-1310,y=1170$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Để cân bằng 2x và 5x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với 5 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Rút gọn.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Trừ 10x+14y=3280 khỏi 10x+20y=10300 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Cộng 10x vào -10x. Các số hạng 10x và -10x giản ước, phương trình còn chỉ một biến có thể được giải.

$$20y-14y=10300-3280$$

Cộng 20y vào -14y.

$$6y=10300-3280$$

Cộng 10300 vào -3280.

$$6y=7020$$

Chia cả hai vế cho 6.

$$y=1170$$

Thế 1170 vào y trong 5x+7y=1640. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Nhân 7 với 1170.

$$5x+8190=1640$$

Trừ 8190 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$5x=-6550$$

Chia cả hai vế cho 5.

$$x=-1310$$

Hệ đã được giải.

$$x=-1310,y=1170$$