Giải {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Tìm x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$2ax+by=14$$

Trừ by khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Chia cả hai vế cho 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Nhân \frac{1}{2a} với -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Thế \frac{-by+14}{2a} vào x trong phương trình còn lại, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Nhân -2 với \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Cộng \frac{by}{a} vào 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Cộng \frac{14}{a} vào cả hai vế của phương trình.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Chia cả hai vế cho 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Thế \frac{14-19a}{9a+b} vào y trong x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Nhân -\frac{b}{2a} với \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Cộng \frac{7}{a} vào -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó phương trình ma trận có thể được viết lại dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Để cân bằng 2ax và -2x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với -2 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Rút gọn.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Trừ \left(-4a\right)x+18ay=-38a khỏi \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Cộng -4ax vào 4ax. Các số hạng -4ax và 4ax giản ước, phương trình còn chỉ một biến có thể được giải.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Cộng -2by vào -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Cộng -28 vào 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Chia cả hai vế cho -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Thế -\frac{-14+19a}{b+9a} vào y trong -2x+9y=-19. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Nhân 9 với -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Cộng \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} vào cả hai vế của phương trình.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Chia cả hai vế cho -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Tìm x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$2ax+by=14$$

Trừ by khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Chia cả hai vế cho 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Nhân \frac{1}{2a} với -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Thế \frac{-by+14}{2a} vào x trong phương trình còn lại, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Nhân -2 với \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Cộng \frac{by}{a} vào 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Cộng \frac{14}{a} vào cả hai vế của phương trình.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Chia cả hai vế cho 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Thế \frac{14-19a}{9a+b} vào y trong x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Nhân -\frac{b}{2a} với \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Cộng \frac{7}{a} vào -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó phương trình ma trận có thể được viết lại dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Để cân bằng 2ax và -2x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với -2 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Rút gọn.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Trừ \left(-4a\right)x+18ay=-38a khỏi \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Cộng -4ax vào 4ax. Các số hạng -4ax và 4ax giản ước, phương trình còn chỉ một biến có thể được giải.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Cộng -2by vào -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Cộng -28 vào 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Chia cả hai vế cho -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Thế -\frac{-14+19a}{b+9a} vào y trong -2x+9y=-19. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Nhân 9 với -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Cộng \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} vào cả hai vế của phương trình.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Chia cả hai vế cho -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$