Giải ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Tính giá trị

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Các bước tìm nghiệm

Sử dụng tính chất phân phối để nhân \sqrt{x}+1 với \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Tính \sqrt{x} mũ 2 và ta có x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Tính giá trị tích phân xác định trước.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Tích hợp tổng số hạng.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Vì \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int x\mathrm{d}x bằng \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Viết lại \sqrt{x} dưới dạng x^{\frac{1}{2}}. Vì \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x bằng \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Rút gọn.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Tích phân xác định là nguyên hàm đa thức được đánh giá tại cận trên của tích phân trừ nguyên hàm được đánh giá tại cận dưới của tích phân.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Rút gọn.

$$\frac{271}{6}$$