Giải ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Tính giá trị

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Các bước tìm nghiệm

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Tính \sqrt{x} mũ 2 và ta có x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

Để tìm số đối của 16-8\sqrt{x}+x, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Lấy 6 trừ 16 để có được -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Tính giá trị tích phân xác định trước.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Tích hợp tổng số hạng.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Phân tích thành thừa số hằng số trong từng số hạng.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Tìm tích phân -10 sử dụng bảng của quy tắc Integrals thông thường \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Viết lại \sqrt{x} dưới dạng x^{\frac{1}{2}}. Vì \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x bằng \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Rút gọn. Nhân 8 với \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Vì \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int x\mathrm{d}x bằng \frac{x^{2}}{2}. Nhân -1 với \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Rút gọn.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Tích phân xác định là nguyên hàm đa thức được đánh giá tại cận trên của tích phân trừ nguyên hàm được đánh giá tại cận dưới của tích phân.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Rút gọn.

$$-\frac{16}{3}$$