Giải ∫ (from 0 to 2 pi) of operatorname{arctanh}(x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname { arctanh } ( x ) d x$$

Tính giá trị

$$2\pi ^{2}\arctan(h)$$

Các bước tìm nghiệm

Tính giá trị tích phân xác định trước.

$$\int \arctan(h)x\mathrm{d}x$$

Phân tích thành thừa số bằng cách sử dụng \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\arctan(h)\int x\mathrm{d}x$$

Vì \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int x\mathrm{d}x bằng \frac{x^{2}}{2}.

$$\arctan(h)\times \frac{x^{2}}{2}$$

Rút gọn.

$$\frac{\arctan(h)x^{2}}{2}$$

Tích phân xác định là nguyên hàm đa thức được đánh giá tại cận trên của tích phân trừ nguyên hàm được đánh giá tại cận dưới của tích phân.

$$\frac{1}{2}\arctan(h)\times \left(2\pi \right)^{2}-\frac{1}{2}\arctan(h)\times 0^{2}$$

Rút gọn.

$$2\arctan(h)\pi ^{2}$$

Lấy vi phân theo h

$$\frac{2\pi ^{2}}{h^{2}+1}$$