Giải ∫ 5v(v^2+2)^2dv

$$\int 5 v ( v ^ { 2 } + 2 ) ^ { 2 } d v$$

Tính giá trị

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

Các bước tìm nghiệm

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(v^{2}+2\right)^{2}.

$$\int 5v\left(\left(v^{2}\right)^{2}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

Để nâng lũy thừa của một số thành một lũy thừa khác, hãy nhân các số mũ với nhau. Nhân 2 với 2 để có kết quả 4.

$$\int 5v\left(v^{4}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 5v với v^{4}+4v^{2}+4.

$$\int 5v^{5}+20v^{3}+20v\mathrm{d}v$$

Tích hợp tổng số hạng.

$$\int 5v^{5}\mathrm{d}v+\int 20v^{3}\mathrm{d}v+\int 20v\mathrm{d}v$$

Phân tích thành thừa số hằng số trong từng số hạng.

$$5\int v^{5}\mathrm{d}v+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

Vì \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int v^{5}\mathrm{d}v bằng \frac{v^{6}}{6}. Nhân 5 với \frac{v^{6}}{6}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

Vì \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int v^{3}\mathrm{d}v bằng \frac{v^{4}}{4}. Nhân 20 với \frac{v^{4}}{4}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+20\int v\mathrm{d}v$$

Vì \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int v\mathrm{d}v bằng \frac{v^{2}}{2}. Nhân 20 với \frac{v^{2}}{2}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}$$

Nếu F\left(v\right) là nguyên hàm của f\left(v\right) thì tập hợp mọi nguyên hàm của f\left(v\right) sẽ được tính bằng F\left(v\right)+C. Vì vậy, hãy thêm hằng số tích phân C\in \mathrm{R} vào kết quả.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

Lấy vi phân theo v

$$5v\left(v^{2}+2\right)^{2}$$