Giải ∫ (3-x^2)^3

$$\int ( 3 - x ^ { 2 } ) ^ { 3 }$$

Tính giá trị

$$-\frac{x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}-9x^{3}+27x+С$$

Các bước tìm nghiệm

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} để bung rộng \left(3-x^{2}\right)^{3}.

$$\int 27-27x^{2}+9\left(x^{2}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{3}\mathrm{d}x$$

Để nâng lũy thừa của một số thành một lũy thừa khác, hãy nhân các số mũ với nhau. Nhân 2 với 2 để có kết quả 4.

$$\int 27-27x^{2}+9x^{4}-\left(x^{2}\right)^{3}\mathrm{d}x$$

Để nâng lũy thừa của một số thành một lũy thừa khác, hãy nhân các số mũ với nhau. Nhân 2 với 3 để có kết quả 6.

$$\int 27-27x^{2}+9x^{4}-x^{6}\mathrm{d}x$$

Tích hợp tổng số hạng.

$$\int 27\mathrm{d}x+\int -27x^{2}\mathrm{d}x+\int 9x^{4}\mathrm{d}x+\int -x^{6}\mathrm{d}x$$

Phân tích thành thừa số hằng số trong từng số hạng.

$$\int 27\mathrm{d}x-27\int x^{2}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Tìm tích phân 27 sử dụng bảng của quy tắc Integrals thông thường \int a\mathrm{d}x=ax.

$$27x-27\int x^{2}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Vì \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int x^{2}\mathrm{d}x bằng \frac{x^{3}}{3}. Nhân -27 với \frac{x^{3}}{3}.

$$27x-9x^{3}+9\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Vì \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int x^{4}\mathrm{d}x bằng \frac{x^{5}}{5}. Nhân 9 với \frac{x^{5}}{5}.

$$27x-9x^{3}+\frac{9x^{5}}{5}-\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Vì \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, thay thế \int x^{6}\mathrm{d}x bằng \frac{x^{7}}{7}. Nhân -1 với \frac{x^{7}}{7}.

$$27x-9x^{3}+\frac{9x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}$$

Rút gọn.

$$-\frac{x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}-9x^{3}+27x$$

Nếu F\left(x\right) là nguyên hàm của f\left(x\right) thì tập hợp mọi nguyên hàm của f\left(x\right) sẽ được tính bằng F\left(x\right)+C. Vì vậy, hãy thêm hằng số tích phân C\in \mathrm{R} vào kết quả.

$$-\frac{x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}-9x^{3}+27x+С$$

Lấy vi phân theo x

$$-\left(x^{2}-3\right)^{3}$$