Giải d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Tính giá trị

$$\cos(x)$$

Các bước Sử dụng Định nghĩa Đạo hàm

Đối với hàm f\left(x\right), đạo hàm là giới hạn của \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} khi h tiến đến 0, nếu tồn tại giới hạn đó.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Sử dụng Công thức Tổng cho Sin.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Phân tích \sin(x) thành thừa số.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Viết lại giới hạn.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Sử dụng dữ kiện x là một hằng số để tính toán giới hạn khi h tiến đến 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Giới hạn của \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} là 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Để tính giá trị giới hạn \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, trước tiên, hãy nhân tử số và mẫu số với \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Nhân \cos(h)+1 với \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Sử dụng Định lý Pitago.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Viết lại giới hạn.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Giới hạn của \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} là 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Sử dụng dữ kiện \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} liên tục tại 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Thay thế giá trị 0 vào biểu thức \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Lấy vi phân theo x

$$-\sin(x)$$