Giải frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Tính giá trị

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Các bước tìm nghiệm

Hữu tỷ hóa mẫu số của \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} bằng cách nhân tử số và mẫu số với 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Xét \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Có thể biến đổi phép nhân thành hiệu các bình phương bằng cách sử dụng quy tắc: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Bình phương 2. Bình phương \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Lấy 4 trừ 3 để có được 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Bất cứ số nào chia cho một đều bằng chính số đó.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Nhân 2+\sqrt{3} với 2+\sqrt{3} để có được \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Hữu tỷ hóa mẫu số của \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} bằng cách nhân tử số và mẫu số với 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Xét \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Có thể biến đổi phép nhân thành hiệu các bình phương bằng cách sử dụng quy tắc: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Bình phương 2. Bình phương \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Lấy 4 trừ 3 để có được 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Bất cứ số nào chia cho một đều bằng chính số đó.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Nhân 2-\sqrt{3} với 2-\sqrt{3} để có được \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Bình phương của \sqrt{3} là 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Cộng 4 với 3 để có được 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Bình phương của \sqrt{3} là 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Cộng 4 với 3 để có được 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Để tìm số đối của 7-4\sqrt{3}, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Số đối của số -4\sqrt{3} là 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Lấy 7 trừ 7 để có được 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Kết hợp 4\sqrt{3} và 4\sqrt{3} để có được 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$