Giải x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Tìm x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 21, bội số chung nhỏ nhất của 7,3.

$$3x+7y=105$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 14.

$$-x+42y=364$$

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$3x+7y=105$$

Trừ 7y khỏi cả hai vế của phương trình.

$$3x=-7y+105$$

Chia cả hai vế cho 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Nhân \frac{1}{3} với -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Thế -\frac{7y}{3}+35 vào x trong phương trình còn lại, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Nhân -1 với -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Cộng \frac{7y}{3} vào 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Cộng 35 vào cả hai vế của phương trình.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Chia cả hai vế của phương trình cho \frac{133}{3}, điều này tương tự như khi nhân cả hai vế với nghịch đảo của phân số đó.

$$y=9$$

Thế 9 vào y trong x=-\frac{7}{3}y+35. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Nhân -\frac{7}{3} với 9.

$$x=-21+35$$

Cộng 35 vào -21.

$$x=14$$

Hệ đã được giải.

$$x=14,y=9$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 21, bội số chung nhỏ nhất của 7,3.

$$3x+7y=105$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 14.

$$-x+42y=364$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó có thể viết lại phương trình ma trận dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=14,y=9$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 21, bội số chung nhỏ nhất của 7,3.

$$3x+7y=105$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 14.

$$-x+42y=364$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Để cân bằng 3x và -x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với -1 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Rút gọn.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Trừ -3x+126y=1092 khỏi -3x-7y=-105 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Cộng -3x vào 3x. Số hạng -3x và 3x triệt tiêu lẫn nhau, phương trình còn lại một biến duy nhất có thể giải được.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Cộng -7y vào -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Cộng -105 vào -1092.

$$-133y=-1197$$

Chia cả hai vế cho -133.

$$y=9$$

Thế 9 vào y trong -x+42y=364. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$-x+42\times 9=364$$

Nhân 42 với 9.

$$-x+378=364$$

Trừ 378 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-x=-14$$

Chia cả hai vế cho -1.

$$x=14$$

Hệ đã được giải.

$$x=14,y=9$$