Giải x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Tìm x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 20, bội số chung nhỏ nhất của 5,4.

$$4x=5y$$

Chia cả hai vế cho 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Nhân \frac{1}{4} với 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Thế \frac{5y}{4} vào x trong phương trình còn lại, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Cộng -\frac{5y}{4} vào y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Nhân cả hai vế với -4.

$$y=12$$

Thế 12 vào y trong x=\frac{5}{4}y. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Nhân \frac{5}{4} với 12.

$$x=15$$

Hệ đã được giải.

$$x=15,y=12$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 20, bội số chung nhỏ nhất của 5,4.

$$4x=5y$$

Trừ 5y khỏi cả hai vế.

$$4x-5y=0$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 3.

$$y=x-3$$

Trừ x khỏi cả hai vế.

$$y-x=-3$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó có thể viết lại phương trình ma trận dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=15,y=12$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 20, bội số chung nhỏ nhất của 5,4.

$$4x=5y$$

Trừ 5y khỏi cả hai vế.

$$4x-5y=0$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 3.

$$y=x-3$$

Trừ x khỏi cả hai vế.

$$y-x=-3$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Để cân bằng 4x và -x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với -1 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Rút gọn.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Trừ -4x+4y=-12 khỏi -4x+5y=0 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Cộng -4x vào 4x. Số hạng -4x và 4x triệt tiêu lẫn nhau, phương trình còn lại một biến duy nhất có thể giải được.

$$5y-4y=12$$

Cộng 5y vào -4y.

$$y=12$$

Thế 12 vào y trong -x+y=-3. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$-x+12=-3$$

Trừ 12 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-x=-15$$

Chia cả hai vế cho -1.

$$x=15$$

Hệ đã được giải.

$$x=15,y=12$$