Giải f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Tìm f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 33, bội số chung nhỏ nhất của 11,33.

$$3f=g$$

Chia cả hai vế cho 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Thế \frac{g}{3} vào f trong phương trình còn lại, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Cộng \frac{g}{3} vào g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Chia cả hai vế của phương trình cho \frac{4}{3}, điều này tương tự như khi nhân cả hai vế với nghịch đảo của phân số đó.

$$g=30$$

Thế 30 vào g trong f=\frac{1}{3}g. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm f trực tiếp.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Nhân \frac{1}{3} với 30.

$$f=10$$

Hệ đã được giải.

$$f=10,g=30$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 33, bội số chung nhỏ nhất của 11,33.

$$3f=g$$

Trừ g khỏi cả hai vế.

$$3f-g=0$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó có thể viết lại phương trình ma trận dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận f và g.

$$f=10,g=30$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 33, bội số chung nhỏ nhất của 11,33.

$$3f=g$$

Trừ g khỏi cả hai vế.

$$3f-g=0$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Để cân bằng 3f và f, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với 1 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Rút gọn.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Trừ 3f+3g=120 khỏi 3f-g=0 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Cộng 3f vào -3f. Số hạng 3f và -3f triệt tiêu lẫn nhau, phương trình còn lại một biến duy nhất có thể giải được.

$$-g-3g=-120$$

Cộng -g vào -3g.

$$-4g=-120$$

Chia cả hai vế cho -4.

$$g=30$$

Thế 30 vào g trong f+g=40. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm f trực tiếp.

$$f+30=40$$

Trừ 30 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$f=10$$

Hệ đã được giải.

$$f=10,g=30$$