Giải 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Tìm x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 2.

$$3x+2y=22$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 2.

$$2x+y=14$$

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$3x+2y=22$$

Trừ 2y khỏi cả hai vế của phương trình.

$$3x=-2y+22$$

Chia cả hai vế cho 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Nhân \frac{1}{3} với -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Thế \frac{-2y+22}{3} vào x trong phương trình còn lại, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Nhân 2 với \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Cộng -\frac{4y}{3} vào y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Trừ \frac{44}{3} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Nhân cả hai vế với -3.

$$y=2$$

Thế 2 vào y trong x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Nhân -\frac{2}{3} với 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Cộng \frac{22}{3} với -\frac{4}{3} bằng cách tìm một mẫu số chung, rồi cộng các tử số. Sau đó, rút gọn phân số đó thành số hạng nhỏ nhất, nếu có thể.

$$x=6$$

Hệ đã được giải.

$$x=6,y=2$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 2.

$$3x+2y=22$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 2.

$$2x+y=14$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó có thể viết lại phương trình ma trận dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=6,y=2$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 2.

$$3x+2y=22$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 2.

$$2x+y=14$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Để cân bằng 3x và 2x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với 2 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Rút gọn.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Trừ 6x+3y=42 khỏi 6x+4y=44 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Cộng 6x vào -6x. Số hạng 6x và -6x triệt tiêu lẫn nhau, phương trình còn lại một biến duy nhất có thể giải được.

$$4y-3y=44-42$$

Cộng 4y vào -3y.

$$y=44-42$$

Cộng 44 vào -42.

$$y=2$$

Thế 2 vào y trong 2x+y=14. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$2x+2=14$$

Trừ 2 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2x=12$$

Chia cả hai vế cho 2.

$$x=6$$

Hệ đã được giải.

$$x=6,y=2$$