Giải 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Tìm x

$$x=-1$$

Các bước tìm nghiệm

Biến x không thể bằng bất kỳ giá trị nào trong -8,-5,-2,1 vì phép chia cho số không là không xác định được. Nhân cả hai vế của phương trình với 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), bội số chung nhỏ nhất của x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 21 với x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 21x+105 với x+8 và kết hợp các số hạng tương đương.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 21 với x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 21x-21 với x+8 và kết hợp các số hạng tương đương.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kết hợp 21x^{2} và 21x^{2} để có được 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kết hợp 273x và 147x để có được 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Lấy 840 trừ 168 để có được 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 21 với x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 21x+42 với x-1 và kết hợp các số hạng tương đương.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kết hợp 42x^{2} và 21x^{2} để có được 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kết hợp 420x và 21x để có được 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Lấy 672 trừ 42 để có được 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 7 với x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 7x+14 với x+5 và kết hợp các số hạng tương đương.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 7x^{2}+49x+70 với x+8 và kết hợp các số hạng tương đương.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Nhân 21 với -\frac{1}{21} để có được -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân -1 với x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân -x+1 với x+2 và kết hợp các số hạng tương đương.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân -x^{2}-x+2 với x+5 và kết hợp các số hạng tương đương.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân -x^{3}-6x^{2}-3x+10 với x+8 và kết hợp các số hạng tương đương.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Kết hợp 7x^{3} và -14x^{3} để có được -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Kết hợp 105x^{2} và -51x^{2} để có được 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Kết hợp 462x và -14x để có được 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Cộng 560 với 80 để có được 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Thêm 7x^{3} vào cả hai vế.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Trừ 54x^{2} khỏi cả hai vế.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Kết hợp 63x^{2} và -54x^{2} để có được 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Trừ 448x khỏi cả hai vế.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Kết hợp 441x và -448x để có được -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Trừ 640 khỏi cả hai vế.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Lấy 630 trừ 640 để có được -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Thêm x^{4} vào cả hai vế.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Sắp xếp lại phương trình để đưa về dạng chuẩn. Sắp xếp các số hạng theo thứ tự bậc từ cao nhất đến thấp nhất.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi -10 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 1 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=1$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 cho x-1 ta có x^{3}+8x^{2}+17x+10. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi 10 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 1 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=-1$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia x^{3}+8x^{2}+17x+10 cho x+1 ta có x^{2}+7x+10. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 1 cho a, 7 cho b và 10 cho c trong công thức bậc hai.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Thực hiện phép tính.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Giải phương trình x^{2}+7x+10=0 khi ± là cộng và khi ± là trừ.

$$x=-5 x=-2$$

Loại bỏ các giá trị không thể là biến.

$$x=-1$$

Liệt kê tất cả đáp án tìm được.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Biến x không thể bằng bất kỳ giá trị nào trong 1,-5,-2.

$$x=-1$$