Розв'яжіть z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Знайдіть z (complex solution)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -8, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$z=1$$

За допомогою Ньютона, z-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть z^{3}+3z^{2}+4z-8 на z-1, щоб отримати z^{2}+4z+8. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 4 – на b, а 8 – на c.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння z^{2}+4z+8=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

Список усіх знайдених рішень.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

Знайдіть z

$$z=1$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -8, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$z=1$$

За допомогою Ньютона, z-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть z^{3}+3z^{2}+4z-8 на z-1, щоб отримати z^{2}+4z+8. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 4 – на b, а 8 – на c.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Оскільки квадратний корінь із від’ємного числа не визначений на множині дійсних чисел, розв’язку немає.

$$z\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$z=1$$