Розв'яжіть z^2-6z+34=0

$$z ^ { 2 } - 6 z + 34 = 0$$

Знайдіть z

$$z=3+5i$$

$$z=3-5i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -6 замість b і 34 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 34}}{2}$$

Піднесіть -6 до квадрата.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 34}}{2}$$

Помножте -4 на 34.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-136}}{2}$$

Додайте 36 до -136.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-100}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -100.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±10i}{2}$$

Число, протилежне до -6, дорівнює 6.

$$z=\frac{6±10i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{6±10i}{2} за додатного значення ±. Додайте 6 до 10i.

$$z=\frac{6+10i}{2}$$

Розділіть 6+10i на 2.

$$z=3+5i$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{6±10i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 10i від 6.

$$z=\frac{6-10i}{2}$$

Розділіть 6-10i на 2.

$$z=3-5i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$z=3+5i z=3-5i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Відніміть 34 від обох сторін цього рівняння.

$$z^{2}-6z+34-34=-34$$

Якщо відняти 34 від самого себе, залишиться 0.

$$z^{2}-6z=-34$$

Поділіть -6 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -3. Потім додайте -3 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$z^{2}-6z+\left(-3\right)^{2}=-34+\left(-3\right)^{2}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$z^{2}-6z+9=-34+9$$

Додайте -34 до 9.

$$z^{2}-6z+9=-25$$

Розкладіть z^{2}-6z+9 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-3\right)^{2}=-25$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(z-3\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

Виконайте спрощення.

$$z-3=5i z-3=-5i$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$z=3+5i z=3-5i$$