Розв'яжіть z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Знайдіть z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -2i замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Піднесіть -2i до квадрата.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Помножте -4 на 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Додайте -4 до -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{2i±4i}{2} за додатного значення ±. Додайте 2i до 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Розділіть 6i на 2.

$$z=3i$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{2i±4i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i від 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Розділіть -2i на 2.

$$z=-i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$z=3i z=-i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Поділіть -2i (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -i. Потім додайте -i у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Піднесіть -i до квадрата.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Додайте -3 до -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Розкладіть z^{2}-2iz-1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Виконайте спрощення.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Додайте i до обох сторін цього рівняння.

$$z=3i z=-i$$