Розв'яжіть z^2+2z-1=0

$$z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0$$

Знайдіть z (complex solution)

$$z=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$z=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2,414213562$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z^{2}+2z-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 2 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -1.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Додайте 4 до 4.

$$z=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 8.

$$z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2\sqrt{2}.

$$z=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Розділіть -2+2\sqrt{2} на 2.

$$z=\sqrt{2}-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{2} від -2.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

Розділіть -2-2\sqrt{2} на 2.

$$z=-\sqrt{2}-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+2z-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$z^{2}+2z-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$z^{2}+2z=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$z^{2}+2z=1$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$z^{2}+2z+1^{2}=1+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$z^{2}+2z+1=1+1$$

Додайте 1 до 1.

$$z^{2}+2z+1=2$$

Розкладіть z^{2}+2z+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+1\right)^{2}=2$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Виконайте спрощення.

$$z+1=\sqrt{2} z+1=-\sqrt{2}$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

Знайдіть z

$$z=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$z=-\sqrt{2}-1\approx -2,414213562$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z^{2}+2z-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 2 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -1.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Додайте 4 до 4.

$$z=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 8.

$$z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2\sqrt{2}.

$$z=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Розділіть -2+2\sqrt{2} на 2.

$$z=\sqrt{2}-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{2} від -2.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

Розділіть -2-2\sqrt{2} на 2.

$$z=-\sqrt{2}-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+2z-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$z^{2}+2z-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$z^{2}+2z=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$z^{2}+2z=1$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$z^{2}+2z+1^{2}=1+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$z^{2}+2z+1=1+1$$

Додайте 1 до 1.

$$z^{2}+2z+1=2$$

Розкладіть z^{2}+2z+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+1\right)^{2}=2$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Виконайте спрощення.

$$z+1=\sqrt{2} z+1=-\sqrt{2}$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$