Розв'яжіть z^2+2/5z+1=0

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

Знайдіть z

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0,2+0,979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0,2-0,979795897i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, \frac{2}{5} замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

Щоб піднести \frac{2}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

Додайте \frac{4}{25} до -4.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -\frac{96}{25}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2} за додатного значення ±. Додайте -\frac{2}{5} до \frac{4i\sqrt{6}}{5}.

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

Розділіть \frac{-2+4i\sqrt{6}}{5} на 2.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \frac{4i\sqrt{6}}{5} від -\frac{2}{5}.

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

Розділіть \frac{-2-4i\sqrt{6}}{5} на 2.

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

Поділіть \frac{2}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{5}. Потім додайте \frac{1}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

Додайте -1 до \frac{1}{25}.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

Розкладіть z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

Відніміть \frac{1}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$