Розв'яжіть y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Знайдіть y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-3x=2$$

Додайте 3x до обох сторін цього рівняння.

$$y=3x+2$$

Підставте 3x+2 замість y в іншому рівнянні: -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Помножте -2 на 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Додайте -6x до 7x.

$$x-4=8$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$x=12$$

Підставте 12 замість x у рівняння y=3x+2. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=3\times 12+2$$

Помножте 3 на 12.

$$y=36+2$$

Додайте 2 до 36.

$$y=38$$

Систему розв’язано.

$$y=38,x=12$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=38,x=12$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Щоб отримати рівність між y і -2y, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на -2, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Виконайте спрощення.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Знайдіть різницю -2y+7x=8 і -2y+6x=-4. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Додайте -2y до 2y. Члени -2y та 2y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$6x-7x=-4-8$$

Додайте 6x до -7x.

$$-x=-4-8$$

Додайте -4 до -8.

$$-x=-12$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$x=12$$

Підставте 12 замість x у рівняння -2y+7x=8. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Помножте 7 на 12.

$$-2y+84=8$$

Відніміть 84 від обох сторін цього рівняння.

$$-2y=-76$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$y=38$$

Систему розв’язано.

$$y=38,x=12$$