Розв'яжіть y^3-8=0

$$y ^ { 3 } - 8 = 0$$

Знайдіть y (complex solution)

$$y=-\sqrt{3}i-1\approx -1-1,732050808i$$

$$y=2$$

$$y=-1+\sqrt{3}i\approx -1+1,732050808i$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -8, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$y=2$$

За допомогою Ньютона, y-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть y^{3}-8 на y-2, щоб отримати y^{2}+2y+4. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$y^{2}+2y+4=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 2 – на b, а 4 – на c.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$y=\frac{-2±\sqrt{-12}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння y^{2}+2y+4=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$y=-\sqrt{3}i-1 y=-1+\sqrt{3}i$$

Список усіх знайдених рішень.

$$y=2 y=-\sqrt{3}i-1 y=-1+\sqrt{3}i$$

Знайдіть y

$$y=2$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -8, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$y=2$$

За допомогою Ньютона, y-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть y^{3}-8 на y-2, щоб отримати y^{2}+2y+4. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$y^{2}+2y+4=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 2 – на b, а 4 – на c.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$y=\frac{-2±\sqrt{-12}}{2}$$

Оскільки квадратний корінь із від’ємного числа не визначений на множині дійсних чисел, розв’язку немає.

$$y\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$y=2$$