Розв'яжіть y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Знайдіть y, x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть x з обох сторін.

$$y-x=-9$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте x до обох сторін.

$$y+x=5$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-x=-9$$

Додайте x до обох сторін цього рівняння.

$$y=x-9$$

Підставте x-9 замість y в іншому рівнянні: y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Додайте x до x.

$$2x-9=5$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$2x=14$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x=7$$

Підставте 7 замість x у рівняння y=x-9. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=7-9$$

Додайте -9 до 7.

$$y=-2$$

Систему розв’язано.

$$y=-2,x=7$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть x з обох сторін.

$$y-x=-9$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте x до обох сторін.

$$y+x=5$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=-2,x=7$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть x з обох сторін.

$$y-x=-9$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте x до обох сторін.

$$y+x=5$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Знайдіть різницю y+x=5 і y-x=-9. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-x-x=-9-5$$

Додайте -x до -x.

$$-2x=-9-5$$

Додайте -9 до -5.

$$-2x=-14$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$x=7$$

Підставте 7 замість x у рівняння y+x=5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y+7=5$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$y=-2$$

Систему розв’язано.

$$y=-2,x=7$$