Розв'яжіть y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Знайдіть y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=-1$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-2x=-1$$

Додайте 2x до обох сторін цього рівняння.

$$y=2x-1$$

Підставте 2x-1 замість y в іншому рівнянні: y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Додайте 2x до 2x.

$$4x-1=3$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$4x=4$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=1$$

Підставте 1 замість x у рівняння y=2x-1. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=2-1$$

Додайте -1 до 2.

$$y=1$$

Систему розв’язано.

$$y=1,x=1$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=-1$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=1,x=1$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=-1$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Знайдіть різницю y+2x=3 і y-2x=-1. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-2x-2x=-1-3$$

Додайте -2x до -2x.

$$-4x=-1-3$$

Додайте -1 до -3.

$$-4x=-4$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$x=1$$

Підставте 1 замість x у рівняння y+2x=3. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y+2=3$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$y=1$$

Систему розв’язано.

$$y=1,x=1$$