Розв'яжіть y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Знайдіть y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=1$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-2x=1$$

Додайте 2x до обох сторін цього рівняння.

$$y=2x+1$$

Підставте 2x+1 замість y в іншому рівнянні: y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Додайте 2x до x.

$$3x+1=7$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$3x=6$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=2$$

Підставте 2 замість x у рівняння y=2x+1. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=2\times 2+1$$

Помножте 2 на 2.

$$y=4+1$$

Додайте 1 до 4.

$$y=5$$

Систему розв’язано.

$$y=5,x=2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=1$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=5,x=2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=1$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Знайдіть різницю y+x=7 і y-2x=1. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-2x-x=1-7$$

Додайте -2x до -x.

$$-3x=1-7$$

Додайте 1 до -7.

$$-3x=-6$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$x=2$$

Підставте 2 замість x у рівняння y+x=7. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y+2=7$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$y=5$$

Систему розв’язано.

$$y=5,x=2$$