Розв'яжіть y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Знайдіть y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть \frac{4}{3}x з обох сторін.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Розгляньте друге рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=8$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Додайте \frac{4x}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Підставте \frac{-28+4x}{3} замість y в іншому рівнянні: y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Додайте \frac{4x}{3} до -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Додайте \frac{28}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на -\frac{2}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$x=-26$$

Підставте -26 замість x у рівняння y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Помножте \frac{4}{3} на -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Щоб додати -\frac{28}{3} до -\frac{104}{3}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y=-44$$

Систему розв’язано.

$$y=-44,x=-26$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть \frac{4}{3}x з обох сторін.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Розгляньте друге рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=8$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=-44,x=-26$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть \frac{4}{3}x з обох сторін.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Розгляньте друге рівняння. Відніміть 2x з обох сторін.

$$y-2x=8$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Знайдіть різницю y-2x=8 і y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Додайте -\frac{4x}{3} до 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Додайте -\frac{28}{3} до -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{2}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$x=-26$$

Підставте -26 замість x у рівняння y-2x=8. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Помножте -2 на -26.

$$y+52=8$$

Відніміть 52 від обох сторін цього рівняння.

$$y=-44$$

Систему розв’язано.

$$y=-44,x=-26$$