Розв'яжіть y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Знайдіть y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Відніміть \frac{1}{3}x з обох сторін.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте 3x до обох сторін.

$$y+3x=60$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Додайте \frac{x}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Підставте \frac{x}{3} замість y в іншому рівнянні: y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Додайте \frac{x}{3} до 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{10}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$x=18$$

Підставте 18 замість x у рівняння y=\frac{1}{3}x. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Помножте \frac{1}{3} на 18.

$$y=6$$

Систему розв’язано.

$$y=6,x=18$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Відніміть \frac{1}{3}x з обох сторін.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте 3x до обох сторін.

$$y+3x=60$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і x.

$$y=6,x=18$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Відніміть \frac{1}{3}x з обох сторін.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Розгляньте друге рівняння. Додайте 3x до обох сторін.

$$y+3x=60$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Знайдіть різницю y+3x=60 і y-\frac{1}{3}x=0. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Додайте -\frac{x}{3} до -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Розділіть обидві сторони рівняння на -\frac{10}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$x=18$$

Підставте 18 замість x у рівняння y+3x=60. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y+3\times 18=60$$

Помножте 3 на 18.

$$y+54=60$$

Відніміть 54 від обох сторін цього рівняння.

$$y=6$$

Систему розв’язано.

$$y=6,x=18$$