Розв'яжіть x-2x^2=-8

$$x-2 { x }^{ 2 } =-8$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 1}{4} \approx 2,265564437$$

$$x=\frac{1-\sqrt{65}}{4}\approx -1,765564437$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}+x=-8$$

Додайте 8 до обох сторін цього рівняння.

$$-2x^{2}+x-\left(-8\right)=-8-\left(-8\right)$$

Якщо відняти -8 від самого себе, залишиться 0.

$$-2x^{2}+x-\left(-8\right)=0$$

Відніміть -8 від 0.

$$-2x^{2}+x+8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 1 замість b і 8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+64}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 1 до 64.

$$x=\frac{-1±\sqrt{65}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{65}}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{65}}{-4} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-1}{-4}$$

Розділіть -1+\sqrt{65} на -4.

$$x=\frac{1-\sqrt{65}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{65}}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{65} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-1}{-4}$$

Розділіть -1-\sqrt{65} на -4.

$$x=\frac{\sqrt{65}+1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1-\sqrt{65}}{4} x=\frac{\sqrt{65}+1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+x=-8$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=-\frac{8}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=-\frac{8}{-2}$$

Розділіть 1 на -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{-2}$$

Розділіть -8 на -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=4$$

Поділіть -\frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{4}. Потім додайте -\frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=4+\frac{1}{16}$$

Додайте 4 до \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{65}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{65}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{4}$$

Додайте \frac{1}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{65}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{65}}{4}$$