Розв'яжіть x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3,886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0,386000936$$

Покрокове розв’язання

Розглянемо \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Розкладіть \left(2x\right)^{2}

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Відніміть \frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15} з обох сторін.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

Розкладіть 4x^{2}-16x+15 на множники.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Щоб додавати або віднімати вирази, розкрийте дужки та приведіть їх до спільного знаменника. Помножте x на \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Оскільки знаменник дробів \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} і \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} збігається, щоб знайти їх різницю, достатньо відняти чисельники один від одного.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Виконайте множення у виразі x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right).

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Зведіть подібні члени у виразі 4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9.

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень \frac{3}{2},\frac{5}{2}, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(2x-5\right)\left(2x-3\right).

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 9, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 4. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=\frac{3}{2}$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть 4x^{3}-20x^{2}+15x+9 на 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3, щоб отримати 2x^{2}-7x-3. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$2x^{2}-7x-3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -7 – на b, а -3 – на c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

Розв’яжіть рівняння 2x^{2}-7x-3=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Видаліть значення, яким не може дорівнювати змінна.

$$x\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Змінна x не може дорівнювати \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$