Розв'яжіть x+3sqrt{x}+4=0

$$x+3 \sqrt{ x } +4 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}\approx 0,5-3,968626967i$$

Покрокове розв’язання

Відніміть x+4 від обох сторін цього рівняння.

$$3\sqrt{x}=-\left(x+4\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x+4, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$3\sqrt{x}=-x-4$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(3\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Розкладіть \left(3\sqrt{x}\right)^{2}

$$3^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Обчисліть 3 у степені 2 і отримайте 9.

$$9\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-x-4\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x} у степені 2 і отримайте x.

$$9x=\left(-x-4\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-x-4\right)^{2}.

$$9x=x^{2}+8x+16$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$9x-x^{2}=8x+16$$

Відніміть 8x з обох сторін.

$$9x-x^{2}-8x=16$$

Додайте 9x до -8x, щоб отримати x.

$$x-x^{2}=16$$

Відніміть 16 з обох сторін.

$$x-x^{2}-16=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+x-16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 1 замість b і -16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -16.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 1 до -64.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -63.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2} за додатного значення ±. Додайте -1 до 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{-2}$$

Розділіть -1+3i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 3i\sqrt{7} від -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{-2}$$

Розділіть -1-3i\sqrt{7} на -2.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}$$

Підставте \frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} замість x в іншому рівнянні: x+3\sqrt{x}+4=0.

$$\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}+3\sqrt{\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}}+4=0$$

Спростіть. Значення x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2} задовольняє рівнянню.

$$0=0$$

Підставте \frac{1+3\sqrt{7}i}{2} замість x в іншому рівнянні: x+3\sqrt{x}+4=0.

$$\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}+3\sqrt{\frac{1+3\sqrt{7}i}{2}}+4=0$$

Спростіть. Значення x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{2} не відповідає рівняння.

$$9+3i\times 7^{\frac{1}{2}}=0$$

Рівняння 3\sqrt{x}=-x-4 має один розв’язок.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{2}$$