Розв'яжіть x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0

$$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } - 10 x + 4 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=2$$

$$x=1-i$$

$$x=1+i$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 4, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 на x-1, щоб отримати x^{3}-4x^{2}+6x-4. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -4, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=2$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}-4x^{2}+6x-4 на x-2, щоб отримати x^{2}-2x+2. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -2 – на b, а 2 – на c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}-2x+2=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=1-i x=1+i$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=1 x=2 x=1-i x=1+i$$

Знайдіть x

$$x=1$$

$$x=2$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 4, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 на x-1, щоб отримати x^{3}-4x^{2}+6x-4. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -4, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=2$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}-4x^{2}+6x-4 на x-2, щоб отримати x^{2}-2x+2. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -2 – на b, а 2 – на c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Оскільки квадратний корінь із від’ємного числа не визначений на множині дійсних чисел, розв’язку немає.

$$x\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=1 x=2$$