Розв'яжіть x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Додайте 12x до обох сторін.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Відніміть 9 з обох сторін.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -9, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}-4x^{2}+12x-9 на x-1, щоб отримати x^{3}+x^{2}-3x+9. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 9, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-3$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}+x^{2}-3x+9 на x+3, щоб отримати x^{2}-2x+3. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -2 – на b, а 3 – на c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}-2x+3=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Знайдіть x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Додайте 12x до обох сторін.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Відніміть 9 з обох сторін.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -9, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}-4x^{2}+12x-9 на x-1, щоб отримати x^{3}+x^{2}-3x+9. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 9, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-3$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}+x^{2}-3x+9 на x+3, щоб отримати x^{2}-2x+3. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -2 – на b, а 3 – на c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Оскільки квадратний корінь із від’ємного числа не визначений на множині дійсних чисел, розв’язку немає.

$$x\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=1 x=-3$$