Розв'яжіть x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Розкласти на множники

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 40, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Одна коренева -5. Полінома, розділіть його за допомогою x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Розглянемо x^{3}+x^{2}-10x+8. За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 8, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Одна коренева -4. Полінома, розділіть його за допомогою x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Розглянемо x^{2}-3x+2. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді x^{2}+ax+bx+2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=-2 b=-1$$

Перепишіть x^{2}-3x+2 як \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

x на першій та -1 в друге групу.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Обчислити

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$