Розв'яжіть x^3=512

$$x ^ { 3 } = 512$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-4\sqrt{3}i-4\approx -4-6,92820323i$$

$$x=8$$

$$x=-4+4\sqrt{3}i\approx -4+6,92820323i$$

Покрокове розв’язання

Відніміть 512 з обох сторін.

$$x^{3}-512=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -512, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=8$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}-512 на x-8, щоб отримати x^{2}+8x+64. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}+8x+64=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 8 – на b, а 64 – на c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}+8x+64=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=8 x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

Знайдіть x

$$x=8$$

Покрокове розв’язання

Відніміть 512 з обох сторін.

$$x^{3}-512=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -512, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=8$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}-512 на x-8, щоб отримати x^{2}+8x+64. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$x^{2}+8x+64=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 8 – на b, а 64 – на c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

Оскільки квадратний корінь із від’ємного числа не визначений на множині дійсних чисел, розв’язку немає.

$$x\in \emptyset$$

Список усіх знайдених рішень.

$$x=8$$