Розв'яжіть x^2-x-40geq0

$$x ^ { 2 } - x - 40 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{161}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{161}+1}{2},\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-40=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -1 – на b, а -40 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-40\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±\sqrt{161}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{161}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{161}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{161}}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} і x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} і x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} і x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}$$