Розв'яжіть x^2-x-2015=0

$$x ^ { 2 } - x - 2015 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{8061} + 1}{2} \approx 45,391535951$$

$$x=\frac{1-\sqrt{8061}}{2}\approx -44,391535951$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-x-2015=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -1 замість b і -2015 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2015\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -2015.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8060}}{2}$$

Додайте 1 до 8060.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{8061}}{2}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{8061}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{8061}}{2} за додатного значення ±. Додайте 1 до \sqrt{8061}.

$$x=\frac{\sqrt{8061}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{8061}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{8061} від 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{8061}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{8061}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{8061}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-2015=0$$

Додайте 2015 до обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-x-2015-\left(-2015\right)=-\left(-2015\right)$$

Якщо відняти -2015 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-x=-\left(-2015\right)$$

Відніміть -2015 від 0.

$$x^{2}-x=2015$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2015+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2015+\frac{1}{4}$$

Додайте 2015 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{8061}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{8061}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8061}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{8061}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{8061}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{8061}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{8061}}{2}$$