Розв'яжіть x^2-6x+2>0

$$x ^ { 2 } - 6 x + 2 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,3-\sqrt{7}\right)\cup \left(\sqrt{7}+3,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-6x+2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -6 – на b, а 2 – на c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{7}\right)\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-\left(\sqrt{7}+3\right) і x-\left(3-\sqrt{7}\right) мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-\left(\sqrt{7}+3\right) і x-\left(3-\sqrt{7}\right) від’ємні.

$$x-\left(\sqrt{7}+3\right)<0 x-\left(3-\sqrt{7}\right)<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<3-\sqrt{7}.

$$x<3-\sqrt{7}$$

Розглянемо випадок, коли x-\left(\sqrt{7}+3\right) і x-\left(3-\sqrt{7}\right) додатні.

$$x-\left(3-\sqrt{7}\right)>0 x-\left(\sqrt{7}+3\right)>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>\sqrt{7}+3.

$$x>\sqrt{7}+3$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<3-\sqrt{7}\text{; }x>\sqrt{7}+3$$