Розв'яжіть x^2-4x-12<0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 12 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-2,6\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-4x-12=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -4 – на b, а -12 – на c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-12\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{4±8}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{4±8}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=6 x=-2$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-6\right)\left(x+2\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-6 і x+2 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-6 має додатне значення, а x+2 – від’ємне.

$$x-6>0 x+2<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+2 має додатне значення, а x-6 – від’ємне.

$$x+2>0 x-6<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-2,6\right).

$$x\in \left(-2,6\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-2,6\right)$$