Розв'яжіть x^2-3x-40geq0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 40 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,-5]\cup [8,\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x-40=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -3 – на b, а -40 – на c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\left(-40\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{3±13}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{3±13}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=8 x=-5$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-8\right)\left(x+5\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-8 і x+5 мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-8 і x+5 ≤0.

$$x-8\leq 0 x+5\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq -5.

$$x\leq -5$$

Розглянемо випадок, коли x-8 і x+5 ≥0.

$$x+5\geq 0 x-8\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq 8.

$$x\geq 8$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq -5\text{; }x\geq 8$$