Розв'яжіть x^2-23*x+132=0

$$x ^ { 2 } - 23 \cdot x + 132 = 0$$

Знайдіть x

$$x=11$$

$$x=12$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники

Щоб розв'язати рівняння, x^{2}-23x+132 використання формули x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-23 ab=132$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 132.

$$-1,-132 -2,-66 -3,-44 -4,-33 -6,-22 -11,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-132=-133 -2-66=-68 -3-44=-47 -4-33=-37 -6-22=-28 -11-12=-23$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -23.

$$a=-12 b=-11$$

Перепишіть розкладений на множники вираз \left(x+a\right)\left(x+b\right) за допомогою отриманих значень.

$$\left(x-12\right)\left(x-11\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-12=0 та x-11=0.

$$x=12 x=11$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx+132. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-23 ab=1\times 132=132$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 132.

$$-1,-132 -2,-66 -3,-44 -4,-33 -6,-22 -11,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-132=-133 -2-66=-68 -3-44=-47 -4-33=-37 -6-22=-28 -11-12=-23$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -23.

$$a=-12 b=-11$$

Перепишіть x^{2}-23x+132 як \left(x^{2}-12x\right)+\left(-11x+132\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-11x+132\right)$$

x на першій та -11 в друге групу.

$$x\left(x-12\right)-11\left(x-12\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-12, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-12\right)\left(x-11\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-12=0 та x-11=0.

$$x=12 x=11$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-23x+132=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -23 замість b і 132 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 132}}{2}$$

Піднесіть -23 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 132}}{2}$$

Помножте -4 на 132.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-528}}{2}$$

Додайте 529 до -528.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±1}{2}$$

Число, протилежне до -23, дорівнює 23.

$$x=\frac{23±1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{23±1}{2} за додатного значення ±. Додайте 23 до 1.

$$x=\frac{24}{2}$$

Розділіть 24 на 2.

$$x=12$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{23±1}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 1 від 23.

$$x=\frac{22}{2}$$

Розділіть 22 на 2.

$$x=11$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=12 x=11$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-23x+132=0$$

Відніміть 132 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-23x+132-132=-132$$

Якщо відняти 132 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-23x=-132$$

Поділіть -23 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{23}{2}. Потім додайте -\frac{23}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-132+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{23}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-132+\frac{529}{4}$$

Додайте -132 до \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{1}{4}$$

Розкладіть x^{2}-23x+\frac{529}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{1}{2}$$

Додайте \frac{23}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=12 x=11$$