Розв'яжіть x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Знайти x

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -2 – на b, а -1 – на c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Щоб добуток був ≤0, одне зі значень x-\left(\sqrt{2}+1\right) і x-\left(1-\sqrt{2}\right) має бути ≥0, а інше – ≤0. Розглянемо випадок, коли x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 і x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 і x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$