Розв'яжіть x^2-2sqrt{3}x+8=0

$$x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x + 8 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i\approx 1,732050808+2,236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}\approx 1,732050808-2,236067977i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -2\sqrt{3} замість b і 8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

Піднесіть -2\sqrt{3} до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-4\times 8}}{2}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-32}}{2}$$

Додайте 12 до -32.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -20.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

Число, протилежне до -2\sqrt{3}, дорівнює 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2} за додатного значення ±. Додайте 2\sqrt{3} до 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}i}{2}$$

Розділіть 2\sqrt{3}+2i\sqrt{5} на 2.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{5} від 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2\sqrt{3}}{2}$$

Розділіть 2\sqrt{3}-2i\sqrt{5} на 2.

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

Відніміть 8 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8-8=-8$$

Якщо відняти 8 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x=-8$$

Поділіть -2\sqrt{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\sqrt{3}. Потім додайте -\sqrt{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}=-8+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Піднесіть -\sqrt{3} до квадрата.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-8+3$$

Додайте -8 до 3.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-5$$

Розкладіть x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}=-5$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\sqrt{3}=\sqrt{5}i x-\sqrt{3}=-\sqrt{5}i$$

Додайте \sqrt{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$