Розв'яжіть x^2-15x+100=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7,5+6,614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7,5-6,614378278i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -15 замість b і 100 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

Піднесіть -15 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

Помножте -4 на 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

Додайте 225 до -400.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -175.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

Число, протилежне до -15, дорівнює 15.

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} за додатного значення ±. Додайте 15 до 5i\sqrt{7}.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 5i\sqrt{7} від 15.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+100=0$$

Відніміть 100 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

Якщо відняти 100 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-15x=-100$$

Поділіть -15 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{15}{2}. Потім додайте -\frac{15}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{15}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

Додайте -100 до \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

Розкладіть x^{2}-15x+\frac{225}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

Додайте \frac{15}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$