Розв'яжіть x^2+x+1=0

$$x ^ { 2 } + x + 1 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}+x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 1 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Додайте 1 до -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} за додатного значення ±. Додайте -1 до i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{3} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+x=-1$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Додайте -1 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$