Розв'яжіть x^2+8x+15leq0

$$x ^ { 2 } + 8 x + 15 \leq 0$$

Знайти x

$$x\in \begin{bmatrix}-5,-3\end{bmatrix}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}+8x+15=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 8 – на b, а 15 – на c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 15}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-8±2}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±2}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-3 x=-5$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x+3\right)\left(x+5\right)\leq 0$$

Щоб добуток був ≤0, одне зі значень x+3 і x+5 має бути ≥0, а інше – ≤0. Розглянемо випадок, коли x+3\geq 0 і x+5\leq 0.

$$x+3\geq 0 x+5\leq 0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+3\leq 0 і x+5\geq 0.

$$x+5\geq 0 x+3\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left[-5,-3\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-5,-3\end{bmatrix}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \begin{bmatrix}-5,-3\end{bmatrix}$$