Розв'яжіть x^2+5x+14=0

$$x ^ { 2 } + 5 x + 14 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}\approx -2,5+2,783882181i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}\approx -2,5-2,783882181i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}+5x+14=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 5 замість b і 14 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 14}}{2}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 14}}{2}$$

Помножте -4 на 14.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-56}}{2}$$

Додайте 25 до -56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-31}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -31.

$$x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2} за додатного значення ±. Додайте -5 до i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{31} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+14=0$$

Відніміть 14 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+5x+14-14=-14$$

Якщо відняти 14 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+5x=-14$$

Поділіть 5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{2}. Потім додайте \frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-14+\frac{25}{4}$$

Додайте -14 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{31}{4}$$

Розкладіть x^{2}+5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

Відніміть \frac{5}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$