Розв'яжіть x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники

Щоб вирішити рівняння, розкладіть x^{2}+34x-71000 на множники за допомогою формули x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 34.

$$a=-250 b=284$$

Перепишіть розкладений на множники вираз \left(x+a\right)\left(x+b\right) за допомогою отриманих значень.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-250=0 і x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx-71000. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 34.

$$a=-250 b=284$$

Перепишіть x^{2}+34x-71000 як \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і 284 у другій групі.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-250, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-250=0 і x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 34 замість b і -71000 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Піднесіть 34 до квадрата.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Додайте 1156 до 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-34±534}{2} за додатного значення ±. Додайте -34 до 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Розділіть 500 на 2.

$$x=250$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-34±534}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 534 від -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Розділіть -568 на 2.

$$x=-284$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=250 x=-284$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Додайте 71000 до обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Якщо відняти -71000 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Відніміть -71000 від 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Поділіть 34 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 17. Потім додайте 17 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Піднесіть 17 до квадрата.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Додайте 71000 до 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Розкладіть x^{2}+34x+289 на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Виконайте спрощення.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Відніміть 17 від обох сторін цього рівняння.

$$x=250 x=-284$$