Розв'яжіть x^2+2x-15geq0

$$x ^ { 2 } + 2 x - 15 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,-5]\cup [3,\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 2 – на b, а -15 – на c.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\left(-15\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-2±8}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±8}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=3 x=-5$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-3 і x+5 мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-3 і x+5 ≤0.

$$x-3\leq 0 x+5\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq -5.

$$x\leq -5$$

Розглянемо випадок, коли x-3 і x+5 ≥0.

$$x+5\geq 0 x-3\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq 3.

$$x\geq 3$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq -5\text{; }x\geq 3$$