Розв'яжіть x^2+2x+3=1

$$x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 1$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-1+i$$

$$x=-1-i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}+2x+3=1$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+2x+3-1=1-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+2x+3-1=0$$

Відніміть 1 від 3.

$$x^{2}+2x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, 2 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2}$$

Додайте 4 до -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2i}{2} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{2}$$

Розділіть -2+2i на 2.

$$x=-1+i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2i}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i від -2.

$$x=\frac{-2-2i}{2}$$

Розділіть -2-2i на 2.

$$x=-1-i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-1+i x=-1-i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+3=1$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}+2x+3-3=1-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}+2x=1-3$$

Відніміть 3 від 1.

$$x^{2}+2x=-2$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-2+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x^{2}+2x+1=-2+1$$

Додайте -2 до 1.

$$x^{2}+2x+1=-1$$

Розкладіть x^{2}+2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-1$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Виконайте спрощення.

$$x+1=i x+1=-i$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x=-1+i x=-1-i$$