Розв'яжіть x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Знайдіть x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Покрокове розв’язання

Відніміть x^{2}+11 від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+11, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Відніміть 11 від 42, щоб отримати 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x^{2}+11} у степені 2 і отримайте x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Відніміть 961 з обох сторін.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Відніміть 961 від 11, щоб отримати -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Додайте 62x^{2} до обох сторін.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Додайте x^{2} до 62x^{2}, щоб отримати 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Відніміть x^{4} з обох сторін.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Підставте t для x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі -1 на a, 63 – на b, а -950 – на c.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Розв’яжіть рівняння t=\frac{-63±13}{-2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$t=25 t=38$$

Оскільки x=t^{2} – це рішення, отримані під час обчислення x=±\sqrt{t} для кожної t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Підставте 5 замість x в іншому рівнянні: x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Спростіть. Значення x=5 задовольняє рівнянню.

$$42=42$$

Підставте -5 замість x в іншому рівнянні: x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Спростіть. Значення x=-5 задовольняє рівнянню.

$$42=42$$

Підставте \sqrt{38} замість x в іншому рівнянні: x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Спростіть. Значення x=\sqrt{38} не відповідає рівняння.

$$56=42$$

Підставте -\sqrt{38} замість x в іншому рівнянні: x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Спростіть. Значення x=-\sqrt{38} не відповідає рівняння.

$$56=42$$

Список усіх розв’язків \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$